Группа математиков Московского университета предложила эффективное описание поведения интегрируемой динамической системы в окрестностях особенностей коранга один для систем с тремя степенями свободы. Исследованные особенности являются в некотором смысле особенностями общего положения (или структурно устойчивыми), то есть встречаются в типичных системах. Использовались методы дифференциальной геометрии, теории динамических систем и теории особенностей. Полученные результаты могут оказаться полезны не только математикам, но и физикам – топологический анализ особенностей работает даже там, где численное моделирование поведения системы не представляется возможным. Результаты работы приняты к печати в журнале “Differential Equations”. Исследования проводились в рамках НОШ МГУ «Математика» (проект № 23-Ш05-25) при поддержке Программы развития МГУ.
Интегрируемой динамической системой называется система дифференциальных уравнений специального вида, которая обладает достаточным числом инвариантных величин – численных характеристик, которые постоянны при движении системы.
Простейшим примером такой системы можно считать материальную точку на плоскости, соединенную с началом координат пружиной, способной свободно вращаться вокруг этого самого начала. Считая, что движение происходит без трения, можно описать движение такой точки с помощью второго закона Ньютона. В этом случае, в правильно подобранных координатах изменение каждой координаты задается уравнением, которое описывает движение маятника. То есть, движение точки на пружине на плоскости оказывается идентично движению двух независимых маятников (один задает колебания вдоль одной оси, другой – вдоль второй).
При этом легко выписать величины, которые сохраняются при движении маятника. Достаточное число таких величин для нашего примера – две штуки. Одна величина – это полная энергия системы, а вторая известна как дополнительный первый интеграл. Для интегрируемой системы количество сохраняющихся величин совпадает с так называемыми степенями свободы. В нашем случае этих степеней две.
Оказывается, тот факт, что компоненты решения ведут себя как маятники, верно для произвольной интегрируемой системы с произвольным числом степеней свободы в предположении компактности и регулярности совместных уровней первых интегралов. Этот факт известен в математике как теорема Лиувилля. Поэтому интерес представляет изучение особых точек – то есть таких специальных режимов движения, для которых это свойство не выполняется. В нашем примере такие движения есть, например, когда одна координата не меняется, а вдоль второй точка колеблется как один маятник (а не два, как раньше).
В случае двух степеней свободы особые точки и свойства множеств, которые они составляют (так называемые особые периодические траектории и особые совместные уровни первых интегралов), были изучены А.Т.Фоменко и его математической школой. Основным инструментом стали так называемые атомы и молекулы – графические инструменты, способные кодировать невырожденные особые множества. Невырожденные особенности (эллиптические и гиперболические) образуют однопараметрические семейства, поэтому вдоль этих семейств возможны бифуркации. Таким бифуркациям отвечают вырожденные особенности – это параболическая особенность (известная в теории катастроф как бифуркация типа “складка”) и ее “скрученные” аналоги (так называемые бифуркации удвоения периода, утроения периода и т.п.). Есть обзоры современных методов и результатов (1, 2, 3, 4, 5, 6).
В новой работе авторы продолжают идеи А.Т.Фоменко на случай трех степеней свободы. При этом рассматриваются особенности коранга один – как невырожденные, так и вырожденные (бифуркация типа “сборка” и ее “скрученные” аналоги). В случае двух степеней свободы невырожденные эллиптические особенности – это ровно те колебания, соответствующие одному маятнику, которые мы рассматривали выше. Несмотря на кажущуюся простоту постановки задачи, оказалось, что изучаемые особенности обладают богатой, сложной и крайне интересной математической структурой.
Подобные результаты потенциально могут использоваться физиками при анализе поведения сложных механических систем. Знание устройства особого множества такой системы позволяет качественно оценивать поведение системы даже тогда, когда численное моделирование траекторий невозможно. В случае особых траекторий – это типичная ситуация.
Интегрируемой динамической системой называется система дифференциальных уравнений специального вида, которая обладает достаточным числом инвариантных величин – численных характеристик, которые постоянны при движении системы.
Простейшим примером такой системы можно считать материальную точку на плоскости, соединенную с началом координат пружиной, способной свободно вращаться вокруг этого самого начала. Считая, что движение происходит без трения, можно описать движение такой точки с помощью второго закона Ньютона. В этом случае, в правильно подобранных координатах изменение каждой координаты задается уравнением, которое описывает движение маятника. То есть, движение точки на пружине на плоскости оказывается идентично движению двух независимых маятников (один задает колебания вдоль одной оси, другой – вдоль второй).
При этом легко выписать величины, которые сохраняются при движении маятника. Достаточное число таких величин для нашего примера – две штуки. Одна величина – это полная энергия системы, а вторая известна как дополнительный первый интеграл. Для интегрируемой системы количество сохраняющихся величин совпадает с так называемыми степенями свободы. В нашем случае этих степеней две.
Оказывается, тот факт, что компоненты решения ведут себя как маятники, верно для произвольной интегрируемой системы с произвольным числом степеней свободы в предположении компактности и регулярности совместных уровней первых интегралов. Этот факт известен в математике как теорема Лиувилля. Поэтому интерес представляет изучение особых точек – то есть таких специальных режимов движения, для которых это свойство не выполняется. В нашем примере такие движения есть, например, когда одна координата не меняется, а вдоль второй точка колеблется как один маятник (а не два, как раньше).
В случае двух степеней свободы особые точки и свойства множеств, которые они составляют (так называемые особые периодические траектории и особые совместные уровни первых интегралов), были изучены А.Т.Фоменко и его математической школой. Основным инструментом стали так называемые атомы и молекулы – графические инструменты, способные кодировать невырожденные особые множества. Невырожденные особенности (эллиптические и гиперболические) образуют однопараметрические семейства, поэтому вдоль этих семейств возможны бифуркации. Таким бифуркациям отвечают вырожденные особенности – это параболическая особенность (известная в теории катастроф как бифуркация типа “складка”) и ее “скрученные” аналоги (так называемые бифуркации удвоения периода, утроения периода и т.п.). Есть обзоры современных методов и результатов (1, 2, 3, 4, 5, 6).
В новой работе авторы продолжают идеи А.Т.Фоменко на случай трех степеней свободы. При этом рассматриваются особенности коранга один – как невырожденные, так и вырожденные (бифуркация типа “сборка” и ее “скрученные” аналоги). В случае двух степеней свободы невырожденные эллиптические особенности – это ровно те колебания, соответствующие одному маятнику, которые мы рассматривали выше. Несмотря на кажущуюся простоту постановки задачи, оказалось, что изучаемые особенности обладают богатой, сложной и крайне интересной математической структурой.
Подобные результаты потенциально могут использоваться физиками при анализе поведения сложных механических систем. Знание устройства особого множества такой системы позволяет качественно оценивать поведение системы даже тогда, когда численное моделирование траекторий невозможно. В случае особых траекторий – это типичная ситуация.