Участниками проекта 23-Ш05−17 «Методы функционального анализа и теории функционально-дифференциальных уравнений в исследовании сложных систем в механике деформируемого твёрдого тела» НОШ МГУ «Математика» Дмитрием Георгиевским и Надеждой Раутиан получены новые результаты в исследовании вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений, моделирующих распространение волн в вязкоупругих средах.
Результаты работы опубликованы в журнале «Дифференциальные уравнения» и журнале «Russian Journal of Mathematical Physics».
Многие важные явления природы, такие как вязкоупругость, распространение тепла, динамика популяций и т. д., моделируются вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнениями. Такие уравнения учитывают предшествующие значения одной или нескольких переменных и называются наследственными системами. Истоки современного понятия наследственных систем традиционно восходят к работам Л. Больцмана и В. Вольтерра, которые ввели понятие памяти в связи с анализом вязкоупругих материалов вместе с гипотезой о том, что удаленная история имеет меньшее влияние на процесс, чем недавняя история. Таким образом, вольтерровы интегро-дифференциальные уравнения, являющиеся моделями наследственных систем, стали называться «уравнениями с памятью». Результаты многочисленных экспериментов показывают, что для большинства существующих материалов определяющие уравнения в пределах малых деформаций можно считать линейными.
Большой интерес для фундаментальных и прикладных исследований представляет изучение качественных свойств решений вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными ядрами интегральных операторов, моделирующих процессы распространения возмущений в вязкоупругих средах, распространение тепла в средах с памятью и имеющих ряд других важных приложений.
В настоящее время в теоретической и прикладной механике для описания процессов в средах с памятью большое распространение получили функции ядер интегральных операторов (функции памяти), представляющие собой сумму дробно-экспоненциальных функций (функций Работнова) с положительными коэффициентами. Функции Работнова, в свою очередь, являются обобщенными функциями Миттаг-Леффлера, имеющими фундаментальное значение в современной теории функций и функциональном анализе. В настоящее время существует обширная литература, посвященная исследованию функций
Дмитрием Георгиевским и Надеждой Раутиан проведено исследование качественного поведения решения начальной задачи для вольтеррова интегро-дифференциального уравнения с дробно-экспоненциальной функцией памяти, моделирующего колебания вязкоупругого стержня и установлена конечная скорость распространения возмущений. Кроме того, исследованы свойства фундаментальных решений класса вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.
Дмитрий Георгиевский отметил, что полученные результаты вносят вклад в развитие теории вязкоупругости и имеет большое прикладное значение для описания свойств композитных материалов и полимеров, широко используемых в современной промышленности, строительстве, медицине и т. д.
Надежда Раутиан добавила, что проведенное исследование и полученные математические результаты имеют значение для развития теории функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.
Результаты работы опубликованы в журнале «Дифференциальные уравнения» и журнале «Russian Journal of Mathematical Physics».
Многие важные явления природы, такие как вязкоупругость, распространение тепла, динамика популяций и т. д., моделируются вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнениями. Такие уравнения учитывают предшествующие значения одной или нескольких переменных и называются наследственными системами. Истоки современного понятия наследственных систем традиционно восходят к работам Л. Больцмана и В. Вольтерра, которые ввели понятие памяти в связи с анализом вязкоупругих материалов вместе с гипотезой о том, что удаленная история имеет меньшее влияние на процесс, чем недавняя история. Таким образом, вольтерровы интегро-дифференциальные уравнения, являющиеся моделями наследственных систем, стали называться «уравнениями с памятью». Результаты многочисленных экспериментов показывают, что для большинства существующих материалов определяющие уравнения в пределах малых деформаций можно считать линейными.
Большой интерес для фундаментальных и прикладных исследований представляет изучение качественных свойств решений вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными ядрами интегральных операторов, моделирующих процессы распространения возмущений в вязкоупругих средах, распространение тепла в средах с памятью и имеющих ряд других важных приложений.
В настоящее время в теоретической и прикладной механике для описания процессов в средах с памятью большое распространение получили функции ядер интегральных операторов (функции памяти), представляющие собой сумму дробно-экспоненциальных функций (функций Работнова) с положительными коэффициентами. Функции Работнова, в свою очередь, являются обобщенными функциями Миттаг-Леффлера, имеющими фундаментальное значение в современной теории функций и функциональном анализе. В настоящее время существует обширная литература, посвященная исследованию функций
Дмитрием Георгиевским и Надеждой Раутиан проведено исследование качественного поведения решения начальной задачи для вольтеррова интегро-дифференциального уравнения с дробно-экспоненциальной функцией памяти, моделирующего колебания вязкоупругого стержня и установлена конечная скорость распространения возмущений. Кроме того, исследованы свойства фундаментальных решений класса вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.
Дмитрий Георгиевский отметил, что полученные результаты вносят вклад в развитие теории вязкоупругости и имеет большое прикладное значение для описания свойств композитных материалов и полимеров, широко используемых в современной промышленности, строительстве, медицине и т. д.
Надежда Раутиан добавила, что проведенное исследование и полученные математические результаты имеют значение для развития теории функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.